新航道

  微積分考試分為AB與BC，與AB相比，BC包含的內容更多、難度更高?？键c包括極限、微分、積分(不定積分、定積分)、微分方程、級數(AB無此部分)、應用。

  1極限部分

  這部分是微積分的基礎，包含：

  (1)會判斷極限存在或不存在，當極限存在時，如何求出該極限

  (2)利用極限刻畫函數的形態——漸近線(asymptote)，研究函數的性質——連續性(continuous)。

  1.1 極限存在的判定標準：左極限與右極限均存在且相等

  1.2 求極限的方法

  求a：先將a代入表達式，如果可以求出某一確定的數值，則該數值即為此函數的極限。

  1.2.1 有理函數(rational function)

  一般來說都是0/0或infinity/ infinity的形式，

  求a：通過因式分解將0因子約掉。

  求無窮大(infinity)：分子分母同時除以該式子的最高次項。

  另外也可用L’Hopital’sRule來做。

  1.2.2 洛必達法則(L’Hopital’s Rule)

  具體使用時，如果所求極限是0/0或infinity/ infinity的形式，可以將分子分母兩部分分別求導，再計算求完導數之后的極限。

  1.2.3 等價無窮小代換

  這一方法大部分國外教材與輔導書(James，Thomas，Finney，Barron)都未提及，但掌握之后會給運算帶來相當大的便利。

  1.2.4 冪指函數

  即

  這種類型的函數，做法是通過ln將其變換成指數型函數來進行運算。

  1.2.5

  0乘有界等于0

  1.3 對于極限不存在，需要掌握左右極限不相等、無窮大和震蕩三種

  1.4 極限的應用

  1.4.1 函數的連續性(continuity)

  如果函數在某一點的極限值等于函數值，則稱該函數在這一點連續。判斷函數在某一點是否連續，必須要分別考察其左極限與右極限，如果左極限與右極限相等則說明極限存在，進而與該點的函數值比較，如果相等即為連續，不等即為間斷。

  1.4.2 間斷點的類型(discontinuity)

  一共分為三種removable，jump，infinite

  1.4.3 當函數在某一閉區間上連續時，則有三個定理

  (1) The extremevalue theorem (EVT)

  (2) Theintermediate value theorem (IVT)

  (3) The zeropoint theorem (Bolzano theorem)

  1.4.4 漸近線(asymptote)

  分為水平(horizontal)與垂直(vertical)。

  其中水平的求法是分別求兩個infinity的極限，如果存在則可判定有水平漸近線。

  垂直的求法是求某一點的極限，如果該極限等于無窮(infinity)，則可判定通過在這一點存在垂直漸近線。

  水平(horizontal)：

  垂直(vertical)：

  2導數與微分

  這一部分的核心在于如何求出一個函數的導數及導數的應用。2.1 導數與微分的定義

  簡單來說，導數是切線的斜率(slope)，微分是切線的改變量。

  2.2 求函數不同表示形式的導數

  顯函數，反函數，復合函數，隱函數，參數方程，極坐標

  2.2 高階導數  要注意的一點以哪個變量為基準求導數，默認是x，但也有特殊情況，如respectto sinx，則是將sinx看成一個整體進行求解。

  它是在導數的基礎之上再求一次導數，常用的是二階導數(second derivative)

  2.3 導數的直接應用

  導數的直接應用是求切線和法線。

  求切線的時候需要注意的是所給的點是否在已知曲線上，如果在則可直接求導代數求出切線斜率(slope)，如果不在則需要先設出切點，而后通過解方程的形式把切點和斜率解出來，從而得出切線。

  2.4 可導與連續

  在某一點可導必然連續，而連續則不一定可導。

  2.5 中值定理(mean value theorem)

  從幾何圖形上來看，當函數在閉區間上連續、開區間內可導時，必然存在一點c使得過c點切線的斜率等于端點連線的斜率。

  利用中值定理可以對函數進行估值和給導數估值。

  3導數與微分的應用

  3.1 函數與導數的關系

  函數的增減性可由一階導數的正負來判斷，凹凸性可由二階導數的正負來判斷。

  3.2 駐點與拐點(critical and inflection point)

  不同的教材對這兩個點的定義不同，我們這里采用比較通用的

  3.3 求函數在某一閉區間上的max and min

  極值(local/relativemaximum and minimum)：鄰域內最大或最小

  最值(global/absolutemaximum and minimum)：整個區間內最大或最小

  對local來說，步驟如下：

  (1)求出一階導數等于0和不存在的點

  (2)利用一階導數是否改變符號和二階導數的正負來判定。

  對global來說，步驟如下：

  (1)求出一階導數等于0和不存在的點

  (2)求出所有的函數值，最大的即為global max，最小的即為global min。

  3.4 物理應用：運動

  運動分為直線運動與平面運動，最原始變量為位置函數，由位置函數來定義位移(displacement)和路程(distance)，在位移(displacement)的基礎上定義速度(velocity)和速率(speed)，在速度的基礎上定義加速度(acceleration)。

  平面運動的位置函數用向量(vector)來表示，因此后面所有的變量都是向量的形式。

  直線運動的主要問題

  (1)求加速與減速區間

  (2)求在哪一時刻改變運動的方向

  (3)求某一時間段內的路程(distance)

  平面運動的主要問題

  (1)速度向量、速率和加速度向量

  (2)求某一時間段內的位移(displacement)和路程(distance)

  3.5 相關變化率

  這一部分是應用題，現實生活中的某一個量隨時間變化而變化，進而求:

  (1)某一時刻該量的瞬時變化率

  (2)某一時間段內平均變化率

  (3)某一時間段內的累積量(積分的應用)

  4不定積分和定積分

  4.1

  與導數類似，不定積分這一部分主要是它的求法，基本的積分公式與運算必須非常熟練。

  (1)換元法(substitution)：將被積函數的某一部分用另外的變量代替，從而將被積函數化簡，使用積分基本公式得出結果。

  (2)分部積分法(integral by parts)：適用于求兩類不同函數乘積的積分，核心是通過交換來改變被積函數，從而將難求的變成容易求的。

  (3)有理函數積分：對于分母是1次和2次的形式有固定的套路，掌握即可。

  4.2 定積分

  1.黎曼和(Riemann sum)

  使用近似逼近的方式來求面積，常用的是左端點、右端點、中點、梯形來做估計，步驟如下

  (1)將區間等分成n份(也可不等分)

  (2)按照預先設定的規則求出每一部分的面積

  (3)加總。

  利用黎曼和對定積分或面積進行估值，需要比較估計值和真實值的大小，可比較的是左端點、右端點和梯形三種估計方法，中點由于大小不易確定，較少出現。

  黎曼積分則是在加總之后求極限，那么該極限值應該等于圖形面積的真實值，也就是定積分的值(黎曼可積)。

  2.求定積分的基本方法

  牛頓-萊布尼茨公式，使用該公式時先求不定積分，再代入數值，因此不定積分的方法都可以在這里使用。但是需要注意的是，使用換元法的時候，變量的取值范圍會發生變化。

  3.求定積分的特殊方法

  (1)對于某些規則圖形(三角形、圓等)可用其幾何意義直接算出面積，再利用定積分和面積之間的關系來求

  (2)利用奇函數和偶函數的性質來求。

  4.積分中值定理

  求函數在某一個區間上的平均值或積分中值，使用如下公式即可。

  5.變限積分

  當被積函數確定時，積分值會隨著積分區間的變化而變化，因此可將積分值看做積分區間的函數，其中需要掌握的是變限積分的求導。

  6.反常積分(improper integral)

  當積分區間不是有限區間(即包含無窮大)或積分區間會使被積函數為無界的時候，求積分需要用到極限，如果極限存在，則稱積分收斂(converge)，不存在則稱為發散(diverge)。

  5定積分的應用

  求面積、體積、弧長

  5.1 面積

  求平面曲線圍成的平面圖形的面積，一般來說是給定一條或若干條曲線，求它與x軸、y軸或其他直線或曲線圍成圖形的面積。

  對于直角坐標系，使用定積分的幾何意義來求，但需要注意的是面積永遠是正數，而積分值有正有負，因此當函數大小關系或區間的邊界發生變化時，要注意區別對待。

  5.2 極坐標求面積

  面積公式與直角坐標不同，特別需要注意的是積分的范圍，如果不好判斷，可用半徑來反求角的范圍。

  5.3 體積：

  求平行截面面積已知的立體圖形的體積和旋轉體體積，第一種圖形對截面面積求積分可得體積，第二種圖形有兩種求法，第一種也是對截面面積求積分，不過要注意旋轉截面是實心圓還是圓環，第二種是利用shell來求，掌握好展開后的圓柱殼的長寬高即可。

  5.3 弧長

  弧長公式用四種，一般來說在考試中如果是不允許使用計算器的部分，只會要求考生列出計算公式，不要求算出數值，而允許使用計算器的部分則可利用計算器來計算弧長的數值。

  6微分方程

  6.1 解微分方程：

  對變量可分離的微分方程，解法是將x和y分離后，等式兩邊同時求積分。

  6.2 斜率場(slope field)

  根據微分方程原函數每一點切線斜率計算出來，而后將與該點切線斜率相同的線段畫在坐標系中，由此所形成的圖形即為斜率場。斜率場所描繪出的圖形即為微分方程的解。

  6.3 增長模型

  分為三種：

  指數型增長(exponentialgrowth)

  有限制的增長(restrictedgrowth)

  邏輯斯蒂增長(logisticgrowth)

  6.4 歐拉估值(Euler’s method)

  多次使用中值定理進行估值，此時c不再任取，而是固定取每一步的起始值。

  7級數(series)

  級數共分為三部分：

  無窮級數(infiniteseries)、冪級數(powerseries)、泰勒級數(Taylorseries)。

  7.1 無窮級數

  分為正項級數(positive)、交錯級數(alternating)。

  這部分的核心是如何判斷一個級數是收斂(converge)還是發散(diverge)。

  1 正項級數(positive)

  判別法有三類五種，分別是積分(integral)、比值與根值(ratio and root)、比較及極限(comparison and limit comparison)。

  2 交錯級數(alternating)

  萊布尼茨準則(Leibniz)

  收斂(converge)分為絕對收斂(absolute converge)和條件收斂(conditional converge)。

  3 判定順序

  (1)將級數加絕對值取正

  (2)對通項求極限，若極限不等于0，則可判定為發散，若等于0，則(2.1)利用積分(integral)、比值與根值(ratio and root)、比較及極限(comparison and limit comparison)判定，若收斂，則原級數絕對收斂，若發散，則(2.1.1)若原級數為交錯級數，利用萊布尼茨準則判斷，若收斂，則為條件收斂，否則為發散。

  7.2 冪級數

  利用比值法求出收斂半徑(radius of convergence)和收斂區間(收斂域)(interval of convergence)。

  冪級數的性質：

  冪級數在收斂區間內(1)連續(2)可微(3)可積。

  7.3 泰勒級數

  (1)將函數展開為泰勒級數

  (2)求泰勒級數的和函數。

  AB與BC考點對比

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